《美妙的数学》（插图珍藏版）

吴振奎 著

北京大学出版社2022年10月出版

本书以数学实例揭示数学潜在的规律，同时探索用美学原理指导数学创造和发现的途径。全书分成数，形，曲线，抽象，无穷等专题板块，并配以200余幅插图、丰富的小贴士和名人语录，全面展现数学的丰富文化及其与我们日常生活的关系，引导大众欣赏数学的趣、秘、异、美，发现数学的古老、严谨、实用。

>>内文选读：

数学中的美

美是自然（确切地讲是“自然的人化”），数学作为“书写宇宙的文字”（伽利略语）反映着自然，其中当然存在着美。

“美”是一个哲学概念。对于山水、风景、形体、相貌这类自然形成的事物，可以据社会文明进步程度、人类智力发展水平、大众审美观点的演化层次，再据多数人的审美观点直观评判其美与否；然而对文学、艺术、建筑、园林……这类带有人工雕琢痕迹的物件，人们再去欣赏它时，美与不美便是一种抽象的思维、判断过程了，比如欣赏艺术大师毕加索的晚年（立体主义抽象）画作，不仅需要观赏者有较高的艺术修养，还要有抽象思维的能力，因为这类画作是将自然物像分解成几何块面，从而从根本上摆脱传统绘画的视觉规律和空间概念（也有人认为这是画家在四维空间作画，即将四维空间的物像用二维图形表现出来）。

真正能够读懂画作的人不会很多，如此一来，有人会认为画作很美，但也有人认为画作不美甚至很丑（正如有人说“美其实是一种感觉”）。这正是“美学”这门学科所要研究的。

而数学美学研究的主要内容也包括探求数学中的现实美、抽象美、美的感悟和美的创造。

数学（特别是现代数学）作为自然科学的基础、工程技术的先导、国民经济的工具，其本身就具有许多美的特性，它们中的某些是形象、生动而具体的。比如数学的简洁性、抽象性、和谐性、奇异性等诸方面均展现着数学自身的美——这些一旦让人觉知，一旦被人认识，数学便有新的希望与未来。数学正是在不断追求完美的过程中孕育、创造并发展的。

把数学，特别是现代数学中美的现象展示出来，再从美学角度重新认识，这不仅是对人们观念的一种启迪，同时可帮助人们去思维、去探索、去研究、去发掘、去创造。

数学中的一个结论（定理、公式、图形）、一种证明、一项计算、一份解答，如果看上去很美（简练、和谐、巧妙、生动……），差不多可以说它是正确的。这就是说：从美学角度探索数学中的一些现象，揭示其中的某些规律，往往可以得到一些研究数学的方法。

简言之，数学中的美需要揭示、探讨、挖掘，从而可看作是对美学乃至整个哲学自身的一种丰富，反过来美学方法又可指导数学学习和研究。

数学中的美的现象，很早就为一些大数学家（如毕达哥拉斯、高斯等）所关注，并提出过不少精辟、独到的见解，但遗憾的是他们未能有专门论著面世（我国古代数学家也从“趣味”角度，探讨过这类问题，虽然美包含着趣味，但“趣味”并不等于美）。

古希腊哲学家苏格拉底认为：最有益的即是最美的。因而古希腊的美学是知识不可分割的一部分，这恰恰是由于当时许多学科的幼芽尚未从人类知识大树上长成独立的枝干。当时的哲人们还认为：（现实）美和宇宙之美是统一的。

毕达哥拉斯学派（请注意这是一个数学团体）认为正是这个学派在研究音乐时最早使用了数学（他们试图提出一个关于声调对比关系的数学表述：八度音与基本音调之比为1∶2，五度音等于2∶3，四度音等于3∶4，等等），这也是人们最早用数学方法研究美的实践与创始。

至于数学，在当今的科学分类研究中，许多学者称哲学和数学是普遍科学，且认为二者可应用于任何学科和领域，其差别在于刻画现实世界时使用的方法和语言不同：哲学使用的是自然语言，数学使用的是人工语言（数学符号）；哲学使用的是辩证逻辑方法，而数学使用的是形式逻辑与数理逻辑方法。这样哲学家有时可以“感觉到”思维的和谐，而数学家则有时可以“感觉到”公式与定理的和谐，即美。

无论从哪个角度来看，数学美都是一个值得探讨的话题。